AIL C8 论证与攻击关系

除了对不完备知识，对其他多种类型的知识表示与推理也存在一致性的处理问题。

• 实践推理： 处理不同行动之间的相互排斥关系；
• 规范推理： 处理不同规范之间的冲突关系；
• 多主体说服或争论：处理不同观点之间的不协调关系。

这些不同推理背景下的冲突处理被抽象化，并在统一框架下建模：

• 各个局部推理抽象化为有特定状态的论证
• 论证之上的演算是关于论证之间攻击关系的演算。

论辩逻辑：专门处理各种知识之间攻击关系的逻辑系统。

论证

通常，论证是由下三部分组成的一个结构。

• 一组前提
• 一个推理关系：由推理规则定义。
• 一个结论

推理规则

设$Prop$是某个逻辑语言下的所有命题集合，$\phi, \phi_i \in Prop,1 \le i \le n$.

推理规则分为

• 硬性规则：表示为$\phi_1, . . . , \phi_n \longrightarrow\phi$，即当$\phi_1, . . . , \phi_n$ 为真时，$\phi$ 必然为真；
• 可废止规则：表示为$\phi_1, . . . , \phi_n \Longrightarrow\phi$，意指一般情况下，当$\phi_1, . . . , \phi_n$ 为真时，$\phi$ 为真；但允许在一些例外情况$\phi$为假。

当规则中包含变元时，规定规则中的变元都是全称量化的。

形式可推演的拓展定义

给定一组规则集合$R$，一组前提集合$\Phi = \{\phi_1, \phi_2, . . . , \phi_n\}$ 和一个结论$\psi$ , 其中 $\phi_i$ 和 $\psi$ 都是公式。从前提$\Phi$到结论$\psi$是形式可推演 的，记作$\Phi |\!\!\!\succ_R \psi$，如果存在一个证明：

$$\begin{align*} 1\quad &\psi_1\\ 2\quad &\psi_2\\ ...\\ m\quad &\psi_m\\ \end{align*}$$

使得 $ψ_m = ψ$。其中，每个 $ψ_i (i = 1, 2, 3, . . . ,m)$ 要么属于$\Phi$, 要么依据 $\{ψ_1, . . . , ψ_{i−1}\}$ 中的公式通过应用$R$中一条推理规则得到。

论证的定义

论证

设$Prop$是某个逻辑语言下的所有命题集合，$R$ 为一组推理规则集合。给定命题集合$\Phi ⊆ Prop$ 和命题 $ϕ ∈ Prop$。

定义论证为一个三元组 $(\Phi,R,\phi)$，使得

• 从$\Phi$到 $ϕ$ 是依据 $R$ 形式可推演的，即$\Phi |\!\!\!\succ_R \phi$。
• 不存在 $\Phi'$ 和 $R'$，使得$\Phi' ∪ R' ⊂ \Phi ∪ R$，且从$\Phi'$到 $ϕ$ 是依据 $R'$ 形式可推演的。即$\Phi,\phi$有极小性，不存在推出$\phi$的冗余。

把论证$(\Phi, R, ϕ)$ 记作$\alpha = \Phi |\!\!\!\succ_R \phi$。对于论证 $α$ ，

• $Conc(α)$：论证 $α$ 的结论 $ϕ$
• $Prem(α)$：论证 $α$ 的前提$\Phi$。

子论证

论证$\Phi_1 |\!\!\!\succ_R \phi$是论证$ \Phi |!!!\succ_R \phi$的子论证，当从 $(\Phi - \Phi_1) ∪ {ϕ_1}$ 到 $ϕ$ 是依据$R - R_1$ 形式可推演的。

• 一个论证可以包含一个或多个子论证。
• 对于论证 $α = \Phi |\!\!\!\succ_R \phi$，$Sub(α)$ 表示 $α$ 的所有子论证集合。

论证的分类

演绎论证是指推理关系为演绎推理的论证。

演绎论证

设$Prop$是某个逻辑语言下的所有命题集合，$A ⊆ Prop$ 是一组假设集合。给定一个论证$\Phi |\!\!\!\succ_R \phi$，该论证是一个

• 演绎论证：如果$R$中不包含可废止规则。记该论证$\Phi \vdash_R ϕ$。
• 经典演绎论证：该论证是演绎论证，且$\Phi ∩ A = ∅$。即前提不包含假设。
• 基于假设的演绎论证：该论证是演绎论证，且$\Phi ∩ A \not = ∅$。

可废止论证

给定一个论证$\Phi |\!\!\!\succ_R \phi$，该论证是一个可废止论证，如果R中包含可废止规则。记该论证$\Phi |\!\!\!∼_R\phi$。

论证间攻击关系

• 经典演绎论证是不可辩驳的。
• 基于假设的演绎论证的假设性前提可以受到质疑。
• 可废止论证的前提、推理关系和结论都可以受到质疑。

通常把一个论证对另一个论证的质疑称为攻击。依据受质疑的成分不同把论证之间的攻击关系分为三种：破坏、底切和反驳。

论证之间的攻击关系基于命题之间的反对关系来定义。

命题间反对关系

给定两个命题 $\varphi$ 和 $\psi$，我们说 $\varphi$ 是 $\psi$ 的反对，当：如果 $\varphi$ 为真，则 $\psi$ 为假。把反对 $\varphi$ 的所有命题集合记作 $\overline{\varphi}$。

• 具有反对关系的一对命题可以同假，但不可同真。

论证间攻击关系

破坏

设$A$是一组假设集合。给定两个论证$\Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$和$\Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$，如果存在$\phi \in \Phi_2 \cap A$使得 $\phi_1 \in \overline{\phi}$，那么称论证$\Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$在 $\phi$ 上破坏论证$\Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$。

也即，论证2被论证1在命题$\phi$破坏，当论证2前提中的假设命题$\phi$被论证1的结论反对。

底切

RECALL

推理规则的可应用性

• 缺省规则：缺省规则 $\delta = \varphi : \psi1, \cdots , \psi_n/\chi$ 可应用于一组命题集合 $E$, 当且仅当 $\varphi \in E$，而且 $\lnot \psi_1 \not\in E, \cdots ,\lnot\psi_n \not\in E$。
• 可废止规则：称一条可废止推理规则$d$是可应用的当其前提为真时结论也为真。记命题"可废止规则 $d$ 是可应用的"为$appl(d)$。

给定两个论证$\Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$和$\Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$，如果$R_2$中存在可废止规则 $d$ 使得 $\phi_1 \in \overline{appl(d)}$，那么称论证$\Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$底切论证$\Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$。

也即，论证2被论证1底切，当论证2中一条可废止规则的可应用性被论证1的结论反对。

反驳

给定两个论证$\alpha_1 = \Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$和$\alpha_2 = \Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$，如果*存在* $\alpha_2$ 的一个子论证 $\alpha = \Phi |\!\!\!\succ_{R} \phi$，使得

1. $ϕ$ 是

• 假设： $\phi \in A$，或
• 一条可废止规则的结论

2. $ϕ_1 \in \overline{ϕ}$，那么$α_1$ 在$α$ 上反驳 $α_2$。

也即，论证2被论证1反驳，当论证2的某个子论证的结论被论证1的结论反对。

依据以上定义，虽然前提为事实，最后一条推理规则为硬性规则，然而中途经过了可废止规则的论证是不可反驳的，这与直觉相悖。

可以看到，如下的论证$\alpha_1,\alpha_2$的结论相互反对。但据定义$\alpha_1$不可被$\alpha_2$反驳。

为了处理该情形的反驳，定义硬性规则的逆否

给定一条硬性规则 $ϕ_1, . . . , ϕ_n \longrightarrow ϕ$，则其对前提$\phi_i$的逆否是

$$ϕ_1, . . . , ϕ_{i-1}, ¬ϕ, ϕ_{i+1}, . . . , ϕ_n \longrightarrow ¬ϕ_i$$

则根据规则$s_3$，有其逆否

$$\lnot fastMove(Tweety) \longrightarrow \lnot flies(Tweety)$$

则可以对$\alpha_2$的结论应用规则$s_3^c$，得到$\alpha_2'$($\alpha_2$的超论证)：

此时$\alpha_2'$反驳了$\alpha_1$的子论证。

极大可错子论证

论证 $α$ 的极大可错子论证的集合$M(α)$ 是满足如下条件的集合：对于任意 $α' \in Sub(α)$，$α' ∈ M(α)$，当且仅当：

1. $α'$ 的最后一条推理规则是可废止的或 $α'$ 含有一个假设性前提；
2. 不存在 $α'' \in Sub(\alpha)$使得 $α'' \not= α , α'' ∈ Sub(α'')$, 且 $α''$ 满足条件 1。

论证集合的硬性接续

给定任意论证集合$\{α_1, . . . , α_n\}$，论证 $α$ 是$\{α_1, . . . , α_n\}$ 的硬性接续，当且仅当：

1. $α$ 中包含的假设及可废止规则与 $α_1, . . . , α_n$ 中包含的假设及可废止规则相同；
2. $α$ 中包含的事实性前提及硬性规则集合是 $α_1, . . . , α_n$ 中包含的事实性前提及硬性规则集合的超集。

击败关系

论证之间可能相互攻击。对于两个存在攻击关系的论证，它们的强度差异会影响到攻击是否成功。

经典演绎论证之外的其他论证都存在可错之处：

• 假设性前提
• 可废止规则

给定两个论证，其可错元素各自构成两个集合。两个论证的强弱之比被定义为这两个论证所对应的两个可错元素的集合的强弱之比。从元素间的优先级到集合间的优先级的提升有三种常用方式：占优方式、民主方式和精英方式。

优先级提升方式

给定集合 $S_1$ 和 $S_2$，有如下三种常用的优先级提升方式：

1. 占优方式： $S_1 \succeq_{Dom} S_2$ 当且仅当 $∃x ∈ S_1∃y ∈ S_2: x\succeq y$, 并且 $∄x ∈ S_1, ∄y ∈ S_2: y\succeq x.$
2. 精英方式:：$S_1 \succeq_{Eli} S_2$ 当且仅当 $\forall x ∈ S_1∃y ∈ S_2: x\succeq y$.
3. 民主方式：$S_1 \succeq_{Dem} S_2$ 当且仅当 $∃x ∈ S_1\forall y ∈ S_2: x\succeq y$.

Lemma 1

给定集合 $S_1$ 和 $S_2$，如果 $S_1\succeq_{Dom} S_2$，那么 $S_1 \succeq_{Dem} S_2$ 并且 $S_1 \succeq_{Eli} S_2$，反之不成立。

论证间优先关系

给定两个论证$\alpha = \Phi_1 |\!\!\!\succ_{R_1} \phi_1$和$\beta = \Phi_2 |\!\!\!\succ_{R_2} \phi_2$，设$F_1 ⊆ Φ_1 ∪ R_1$ 和$F_2 ⊆ Φ_2 ∪ R_2$ 分别为二论证的可错元素集合。则$α\succeq β$，当且仅当$F_1 \succeq F_2$。

成功反驳与成功破坏

给定两个论证 $α$ 和 $β$。

• $α$ 成功反驳 $β$，如果 $α$ 在子论证 $β'$ 上反驳 $β$，且 $α\succeq β'$。
• $α$ 成功破坏 $β$，如果 $α$ 在 $β$ 的假设性前提 $ϕ$ 上破坏 $β$，且 $α \succeq \{ϕ\}$。

击败关系

给定两个论证 $α$ 和 $β$，我们说 $α$ 击败 $β$，当且仅当：

• $α$ 底切 $β$，或
• $α$ 成功反驳 $β$，或
• $α$ 成功破坏 $β$。