AIL C9 抽象论辩理论

抽象论辩框架

抽象论辩框架

抽象论辩框架(论辩框架)是一个二元组AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang.

  • ARAR：一组论证的集合
  • attacksattacks： ARAR上的二元关系。attacks⊆AR×ARattacks ⊆ AR × AR。

符号表示用

  • α→βα → β —— 论证αα 攻击论证 ββ。
  • S→βS → β —— 论证集合 SS 攻击论证 ββ，即 ∃α∈S,α→β\exist α ∈ S, α → β。
  • β→Sβ → S —— 论证集合 ββ 攻击论证 SS，即∃α∈S,β→α\exist \alpha \in S,\beta \rightarrow \alpha。

抽象论证是一种没有内部结构的抽象实体；其集合上的攻击关系或击败关系是一种抽象的二元关系。

从处理论证之间冲突的角度看，论证的可接受性仅与论证之间的击败关系或攻击关系有关，而与论证的内部结构和论证之间击败关系或攻击关系的来源无关。

因此可对论证及其上的攻击关系或击败关系做抽象化处理。

由于

  • 在一些情况下：没有考虑论证间的优先关系。
  • 在一些情况下：考虑论证间的优先关系。

论证间冲突关系 分别指的是攻击关系和击败关系。在抽象论辩框架中，将所有的冲突关系均称为攻击关系以简化表述。

论证图

可将论辩框架看作是有向图，称为论证图。即将

  • 结点：论证
  • 有向边：攻击关系。

论证的可接受性

可接受性的朴素直觉

α\alpha 若
接受 α\alpha不自我攻击 ∄β∈AR,β→α\not \exist \beta \in AR, \beta \rightarrow \alpha
拒绝 ∃β\exist \beta 被接受 β→α\beta \rightarrow \alpha
接受 α\alpha被复原

复原

称论证 αα 被复原，即α\alpha被接受，如果

  • αα 受到攻击
  • ∀β:β→α,β\forall \beta:\beta \rightarrow \alpha,\beta被拒绝。

未确定状态

称一个既没有被接受，也没有被拒绝状态的论证未确定的。

论辩语义

通常，把用于评价任意论辩框架中论证可接受性的标准称为论辩语义。

目前，用于描述论辩语义的方法有两种：

  • 基于外延的方法：通过定义特定的评价标准，把一个论辩框架映射到一组外延的集合。其中，每个外延是一组集体可接受的论证集合。
  • 基于标记的方法：通过定义特定的评价标准，把一个论辩框架映射到一组标记的集合。其中，每个标记是一组附有状态标签的论证集合。

基于外延的语义

给定一个抽象论辩框架AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，论辩语义 σσ 是一个函数，把AFAF 映射到一组外延的集合Eσ(AF){\cal E}_σ(AF)。

其中每个外延是一组集体可接受的论证集合。

BASE:可相容外延

无冲突

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，设 E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。EE 是无冲突的，当且仅当

∄α,β∈E,α→β\not\exist α, β ∈ E, α → β

也即EE 构成的论证图内不存在边。

可防御

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，设 E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。EE 是可防御αα的，当且仅当

∀β∈AR:If β→α,then E→β。∀β ∈ AR:If\ β → α,then\ E → β。

也即α\alpha的所有攻击者都被EE攻击。

可相容外延

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，设 E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。EE 是一个可相容外延，当且仅当

  • EE 是无冲突的。

    ∄α,β∈E,α→β∄α, β ∈ E, α → β

  • EE 可防御 EE中每个论证。

    ∀α∈E∀β∈AR:β→α, E→β\forall \alpha \in E\forall \beta \in AR:β → α,\ E → β

LEMMA 1 可相容外延的递增性

设EE是可相容外延，且EE可防御论证 αα 和 α′α'。那么

  1. E′=E∪{α}E' = E ∪ \{α\} 是可相容外延。
  2. E′E' 可防御 α′α'。

PF

  1. 先证明(1).

    由EE​是可相容外延，故

    ∀α0∈E∀β∈AR:β→α0, E→β\forall \alpha_0 \in E\forall \beta \in AR:β → α_0,\ E → β

    又EE可防御论证 αα，故对于E′=E∪{α}E' = E ∪ \{α\}，

    ∀α0∈E′∀β∈AR:β→α0,∃γ∈E⊆E′,γ→β\forall \alpha_0 \in E'\forall \beta \in AR:β → α_0,\\ \exist \gamma \in E \sube E', \gamma \rightarrow \beta

    也即EE可防御所有元素。故只需证明E′E'是无冲突的。

    反证法设E′E'​不是无冲突的，即

    ∃β∈E:(α→β)or(β→α)\exist β ∈ E: (α \rightarrow β )or (β \rightarrow α)

    • 若 β→αβ \rightarrow α，由EE可防御αα，故∃β′∈E:β′→β\exist β' ∈ E: β' \rightarrow β，即β,β′∈E:β′→β\beta,\beta' \in E: β' \rightarrow β，即EE是有冲突的，与EE是无冲突的可相容外延矛盾。
    • 如果 α→β\alpha \rightarrow β，由于β∈E\beta \in E，则EE 可防御ββ 也即∃β′∈E:β′→α\exist β' ∈ E: β' \rightarrow α。又由于 EE 可防御 αα，即∃β′′∈E:β′′→β′\exist β'' ∈ E: β'' \rightarrow \beta'，这与 EE 是无冲突的矛盾。

  2. 再证明(2)。

    由于EE可防御论证 α,α′α,\alpha'​，故

    ∀β∈AR:β→α′,∃γ∈E⊆E′,γ→β\forall \beta \in AR:β → α',\\ \exist \gamma \in E \sube E', \gamma \rightarrow \beta

    也即E′E'依然可防御 α′\alpha'。

    由于EE 可防御论证 αα 和 α′α'，则αα 和 α′α'必不冲突。

完全外延

可相容外延只要求无冲突和可防御，不要求包含所有可以被该外延防御的论证。

根据可相容的外延的递增性质，通过添加可防御论证逐步扩大可相容外延来获得完全外延。将这种添加方式形式化定义为特征函数。

特征函数

给定抽象论辩框架AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，SS是一组*可同时接受的论证集合。则AFAF的特征函数*，记作FAFF_{AF}，定义为一个2AR2^{AR}（ARAR的幂集） 到 2AR2^{AR} 的映射，使得

FAF(S)={α∣defend(S,α)}F_{AF}(S) = \{α | defend(S,α)\}

其中defend(S,α)defend(S,\alpha)表示SS可防御α\alpha。

给定任何一个可相容外延S0S_0，得到S1=F(S0)S_1 = F(S_0)，不断对结果应用特征函数Si+1=F(Si)S_{i+1} = F(S_i)直到F(Sn)=Sn−1F(S_n) = S_{n - 1}，即SnS_n是FAFF_{AF}的不动点。由可相容外延的单调性质知，SnS_n具有某种基于S0S_0的极大性质，SnS_n 中包含了所有 本身可防御的论证。

完全外延

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。EE是完全外延，当且仅当：

  • EE是一个 可相容外延
  • ∀α∈AR\forall \alpha \in AR，如果EE可防御αα，α∈Eα \in E , 即FAF(E)=EF_{AF}(E) = E。也即EE 是FAFF_{AF} 的一个不动点。

一些论辩框架可能有多个在完全语义下的外延。

不同的外延对应于接受不同的论证集合。

基外延和优先外延

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。

基外延

EE 是基外延，当且仅当 EE 是最小的完全外延。

LEMMA2

EE 是AFAF的基外延，当且仅当 EE 是 FAFF_{AF} 的**最小不动点**。

优先外延

EE 是优先外延，当且仅当 EE 是一个**极大的**完全外延。

此处的最小和极大均是关于集合包含关系的最小和极大。显然最小唯一，极大不唯一。

显然每个优先外延都是完全外延，但不是每个完全外延都是优先外延。

稳定外延与半稳定外延

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，E⊆ARE ⊆ AR 是一组论证集合。

稳定外延-稳定语义

EE 是一个稳定外延，当且仅当 EE 是

  • 无冲突的
  • ∀α∈AR−E\forall α ∈ AR - E ，α\alpha被EE 攻击。

稳定语义: 语义下所有外延均为稳定外延：所有不在该外延中的论证都必须受到该外延的攻击。所有论证的状态要么是被接受的，要么是被拒绝的，也即状态为 “不确定的”论证集合为空集。

并非每个论辩框架都存在稳定外延。

半稳定外延

EE是一个半稳定外延，当且仅当 EE 是

  • 完全外延

  • E∪E+E ∪ E^+​ 是关于集合包含关系极大的。其中E+E^+是ARAR中所有被EE攻击的论证的集合。

    E+={α∈AR∣E attacks α}E^+ = \{α ∈ AR | E\ attacks\ α\}

可把半稳定外延视为稳定对稳定外延的缺陷的一种弥补。他仅而仅要求极小化不确定论证的集合。

基于标记的语义

标记

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang​，AFAF​ 的标记定义为一个全函数LL​ :

L:AR→{IN,OUT,UNDEC}L:AR → \{IN, OUT, UNDEC\}

IN，OUT和UNDEC是事先规定好的标签：

  • IN：论证的状态为“被接受的”；
  • OUT：论证的状态为“被拒绝的”；
  • UNDEC：论证的状态是“未确定的”。

对应地，我们用

  • in(L)={α∈AR∣L(α)=IN}in(L) = \{α\in AR | L(α) = IN\}
  • out(L)={α∈AR∣L(α)=OUT}out(L) = \{α\in AR | L(α) = OUT\}
  • undec(L)={α∈AR∣L(α)=UNDEC}undec(L)= \{α\in AR | L(α) = UNDEC\}。

则通常表示标记LL为三元组 (in(L),out(L),undec(L))(in(L), out(L), undec(L))。

标记指派的合法性

设 LL 是论辩框架AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang的一个标记，α∈ARα ∈ AR。则对于α\alpha被指派标记的合法性有如下定义：

  • L(α)=INL(α) = IN​ 是合法的，如果

    ∀(β,α)∈attacks，L(β)=OUT.\forall (β, α) ∈ attacks，L(β) = OUT.

    即所有被α\alpha攻击的论证都是非法的。

  • L(α)=OUTL(α) = OUT是合法的，如果

    ∃(β,α)∈attacks,L(β)=IN.\exist (β, α) ∈ attacks, L(β) = IN.

    即α\alpha被至少一个被接受的论证攻击。

  • L(α)=UNDECL(α) = UNDEC是合法的，如果

    ∀(β,α)∈attacks,L(β)≠INAND∃(β,α)∈attacks,L(β)≠OUT.\forall (β, α) ∈ attacks,L(β) \not= IN\\ \rm AND\\ \exist (β, α) ∈ attacks, L(β) \not= OUT.

    即α\alpha不被被接受的论证攻击，且至少存在一个攻击者没有确定为不接受。也即全部攻击者为不接受或者未确定。

可相容标记

LL 是论辩框架AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang的一个可相容标记，当且仅当： ∀α∈AR\forall \alpha \in AR

  • 如果L(a)=INL(a) = IN，那么L(α)=INL(α) = IN 是合法的；
  • 如果L(α)=OUTL(α) = OUT，那么 L(α)=OUTL(α) = OUT是合法的。

也即要求LL所有指派IN,OUTIN,OUT的合法性。（不要求UNDECUNDEC）

LEMMA 3

可相容标记与可相容外延对应。给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang。

  1. 如果标记 LL 是 AFAF 的一个可相容标记，那么 in(L)in(L) 是AFAF 的一个可相容外延。

  2. 如果 EE 是 AFAF 的一个可相容外延，那么 L=(E,E+,AR−(E∪E+))L = (E, E^+, AR - (E ∪ E^+)) 是 AFAF 的一个可相容标记。其中E+E^+与前同。

完全标记

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，LL是AFAF的一个完全标记，当且仅当：

  • LL是AFAF 的一个可相容标记；
  • ∀α∈AR:L(α)=UNDEC\forall α ∈ AR: L(α) = UNDEC，L(α)=UNDECL(α) = UNDEC是合法的。

也即在可相容标记要求LL所有指派IN,OUTIN,OUT的合法性的基础上，要求UNDECUNDEC的指派合法性。

迭代计算完全标记

  1. 为所有论证指派ININ。in0=ARin_0 = AR

  2. 随机选择一个不被合法指派为ININ的论证，指派为OUTOUT。

    此处的选择会影响最终标记的生成。（产生不同的分支）

  3. 重复2.直到没有不被合法指派为ININ的论证。

  4. 为所有不被合法指派为ININ的论证指派为UNDECUNDEC。

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，LL是AFAF的一个

优先标记

LL是AFAF 的一个优先标记，当且仅当

  • LL是AFAF 的一个完全标记；
  • in(L)in(L) 是关于集合包含关系极大的。
超级非法ININ super-illegally IN

超级非法ININ是被合法指派为ININ的论证攻击的ININ。

则aa是合法指派的ININ，bb是超级非法IN，cc是普通的非法指派的ININ。

迭代计算优先标记

迭代计算优先标记的方法与计算完全标记基本相同。但在2.中，优先选择超级非法IN作为对象。

基标记

LL是AFAF 的一个基标记，当且仅当

  • LL是AFAF 的一个完全标记；
  • in(L)in(L) 是关于集合包含关系最小的。
迭代计算基标记

out0(L)=∅out_0(L) = \empty。

  1. 为所有不受攻击的论证指派ININ。in0={α∣∀β∈AR,(β,α)∉attacks}in_0 = \{\alpha|\forall \beta \in AR,(\beta,\alpha) \not \in attacks\}
  2. 为所有被指派ININ的论证攻击的论证指派OUTOUT。out1(L)=out0(L)∪{α∣∃β∈in1(L):(β,α)∈attacks}out_1(L) = out_0(L) \cup \{\alpha|\exist \beta \in in_1(L):(\beta,\alpha) \in attacks\}
  3. 为只受被指派OUTOUT的论证攻击的论证指派ININ。in1(L)=in0(L)∪{α∣∀β:(β,α)∈attacks,L(β)=OUT}in_1(L) = in_0(L) \cup \{\alpha|\forall \beta:(\beta,\alpha) \in attacks,L(\beta) = OUT\}
  4. 重复2.-3.，直到3.没有新的论证可被指派为ININ。
  5. 为所有还未被指派标记的标签指派UNDECUNDEC。undec(L)=AR−inn(L)−outn(L)undec(L) = AR - in_n(L) - out_n(L)

稳定标记

LL是AFAF 的一个稳定标记，当且仅当

  • LL是AFAF 的一个完全标记；
  • undec(L)=∅undec(L) = \empty。

半稳定标记

LL是AFAF 的一个半稳定标记，当且仅当

  • LL是AFAF 的一个完全标记；
  • in(L)in(L) 和 out(L)out(L) 是关于集合包含关系极大的。

LEMMA 4

给定AF=⟨AR,attacks⟩,σ∈{co,pr,gr,st,sst}AF = \lang AR, attacks\rang, σ∈ \{co, pr, gr, st, sst\} 是一种论辩语义。其中

  • coco : 完全语义
  • prpr：优先语义
  • grgr：基语义
  • stst：稳定语义
  • sstsst：半稳定语义

对于 σσ​ 语义下 AFAF​ 的任意标记 LL​，存在相同语义下 AFAF​ 的一个外延 EE​，使得

L=(E,E+,AR−(E∪E+))L = (E, E^+, AR- (E∪E^+))

对于 σσ​ 语义下 AFAF​ 的任意外延EE​，存在相同语义下 AFAF​ 的一个标记 LL​ 使得

E=in(L)E = in(L)

论证的状态

给定AF=⟨AR,attacks⟩AF = \lang AR, attacks\rang，在论辩语义 σσ 下分别用Eσ(AF)E_σ(AF) 和Lσ(AF)L_σ(AF) 表示AFAF的外延集合和标记集合。其中，σ∈{co,pr,gr,st,sst}σ∈ \{co, pr, gr, st, sst\}。各语义内涵同上。

关于外延或标记的论证状态

对于任意E∈Eσ(AF),L∈Lσ(AF)E ∈ E_σ(AF),L ∈ L_σ(AF)，可确定AFAF 中各个论证状态: ∀α∈AR\forall α ∈ AR，

αα 是···当且仅当 关于EE 关于LL
被接受的 α∈Eα ∈ E L(α)=INL(α) = IN
被拒绝的 E→αE \rightarrow \alpha L(α)=OUTL(α) = OUT
未确定的 a∉Ea\not\in E,$\lnot \exist \beta\in E,\beta \rightarrow \alpha $ L(α)=UNDECL(α) = UNDEC

论证的辩护状态

∀α∈AR\forall α ∈ AR， αα 是

  • 怀疑可辩护的，当且仅当 ∀E∈Eσ(AF),α∈E\forall E ∈ E_σ(AF),α ∈ E
  • 轻信可辩护的，当且仅当∃E1,E2∈Eσ(AF):α∈E1,α∉E2\exist E_1, E_2 ∈ E_σ(AF): α ∈ E_1,α \not∈ E_2
  • 不可辩护的，当且仅当∀E∈Eσ(AF),α∉E\forall E ∈ E_σ(AF), α\not ∈ E。
AI > Logic
#AI
AIL C9 抽象论辩理论
http://example.com/2023/06/09/AIL-9/
Author
Tekhne Chen
Posted on
June 9, 2023
Licensed under